kalkulus

Garis Lurus

Dalam geometri aksiomatik/Euclide konsep garis merupakan salah satu unsur yang “tak terdefinisikan” dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada suatu postulat yang berbunyi sebagai berikut:

– melalui dua buah titik yang berbeda terdapat tepat satu dan hanya satu garis lurus.

– melalui sebuah titik di luar garis yang diberikan ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

Dua postulat di atas akan digunakan dalam menganalisis secara aljabar karakteristik suatu garis dan menyatakannya dalam bentuk persamaan.

3.1. Persamaan Garis Bentuk Titik-Kemiringan

Pandanglah suatu garis yang melalui titik tetap P₁(x₁, y₁) dan mempunyai kemiringan m. (Perhatikan gambar 3.1.) Jika diambil sembarang titik P(x, y) untuk x berbeda dengan x₁ maka dengan rumus (3) seksi 1.11, kemiringan garis P₁P adalah

P(x, y)

y– y₁

P₁(x₁, y₁)

O X

Gambar 3.1

Kemiringan garis akan sama dengan m jika dan hanya jika titik P berada pada garis yang diberikan. Jadi, jika P(x, y) berada pada garis yang diberikan maka harus dipenuhi kesamaan

= m.

atau jika dilakukan penyederhanaan bentuk pembagian diperoleh persamaan :

y – y₁ = m(x – x₁). (1)

Persamaan (1) di atas disebut persamaan garis lurus bentuk titik-kemiringan dan perlu ditekankan kembali bahwa koordinat suatu titik akan memenuhi persamaan di atas jika dan hanya jika titik itu berada pada garis yang melalui titik P₁(x₁, y₁) dan mempunyai kemiringan m.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang melalui (3, –2) dengan kemiringan 3/5.

Jawab:

Dengan menggunakan rumus (1) di atas diperoleh

y – y₁= m(x – x₁).

y – (–2) = 3/5(x – 3).

3x – 5y – 19 = 0.

Grafik garis lurus yang melalui titik (3, –2) dan mempunyai kemiringan 3/5 dapat dilihat pada gambar 3.2 di bawah ini.

P₁(3, –2)

Gambar 3.2

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis yang melalui P(2, 1) dan membuat sudut 45° dengan garis 2x – 3y = 6.

Jawab:

Misalkan m₁ kemiringan garis l₁ yang akan dicari.

Diketahui garis yang diminta membentuk sudut 45° dengan garis l₂ º 2x – 3y = 6 yang mempunyai kemiringan m₂ = 2/3. Dalam hal ini ada dua garis kasus yang memenuhi sifat garis yang dicari yaitu :

Kasus 1 : Jika q = Ð(l₁, l₂) = 45°

Maka menurut rumus (3) seksi 1.13 didapatkan:

tan q =

tan 45° =

Û 1 =

Û m = –

Karena garis melalui titik P(2, 1) dan mempunyai kemiringan m = –

, maka menurut rumus (1) persamaan garis bentuk titik-kemiringan persamaan garis yang dicari adalah:

y – 1 = –

(x – 2)

atau x + 5y = 7.

Kasus 2 : Jika q = Ð(l₂, l₁) = 45°

Maka menurut rumus (3) seksi 1.13 didapatkan:

tan q =

tan 45° =

Û 1 =

Û m = 5

Karena garis melalui titik P(2, 1) dan mempunyai kemiringan m = 5, maka menurut rumus (1) persamaan garis bentuk titik-kemiringan persamaan garis yang dicari adalah:

y – 1 = 5(x – 2)

atau

5x – y = 9.

Gambar 3.3.

3.2. Persamaan Garis Bentuk Titik – Titik.

Mengingat postulat pertama tentang karakteristik garis lurus, maka apabila diketahui dua titik yang berbeda pada bidang, maka garis yang melalui dua titik tersebut dapat dilukis. Dengan demikian persamaan garisnya pun juga dapat ditemukan.

P(x₂, y₂)

y₂– y₁

P₁(x₁, y₁)

O X

Gambar 3.4

Misalkan sebuah garis melalui titik P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂), x₁¹ x₂ maka menurut rumus (3) seksi 1.11 garis P₁P₂ mempunyai kemiringan

m =

Berdasarkan rumus (1) seksi 3.1, dengan mengganti kemiringan m =

dan memilih satu dari dua titik yang diketahui diperoleh hubungan :

y – y₁ =

(x – x₁) (1)

atau dituliskan dalam bentuk

(2)

Persamaan (1)atau (2) di atas disebut persamaan garis bentuk titik – titik. Satu hal yang menjadi catatan bahwa penamaan titik sebagai “titik pertama” dan “titik kedua” diambil secara sembarang.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang melalui (4, 1) dan (–2, 3).

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan (1) di atas diperoleh persamaan

y – y₁ =

(x – x₁).

y – 1 =

(x – 4).

x + 3y – 7 = 0

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan segmen yang menghubungkan titik A(5, –3) dengan B(1, 7) dan melalui titik tengah segmen tersebut (bisektor).

Jawab:

Misalkan titik tengah segmen AB adalah P. Pertama kita cari koordinat titik P dengan rumus (5) seksi 1.8.

x_P =

= 3; y_P =

= 2

Jadi koordinat titik P (3, 2).

Kemiringan dari segmen yang menghubungkan titik (5, –3) dan (1, 7) adalah

m =

;

sehingga kemiringan dari garis yang tegak lurus AB adalah m = 2/5.

Dengan menggunakan persamaan (1) seksi 3.1 untuk titik (3, 2) dan m = 2/5 diperoleh persamaan yang kita cari yaitu

y – 2 =

(x – 3),

Û 2x – 5y + 4 = 0

3.3. Persamaan Garis Bentuk Kemiringan – Titik Potong

Jika sebuah garis mempunyai kemiringan m dan memotong sumbu-y sejauh b satuan maka dihasilkan suatu kasus khusus dari permasalahan yang diuraikan dalam seksi 3.1. (Lihat gambar 3.5.)

(0, b)

O X

Gambar 3.5

Untuk titik tetap (0, b) dan kemiringan m, maka dari (1) seksi 3.1 diperoleh persamaan

y – b = m(x – 0)

atau

y = mx + b (1)

Persamaan (1) di atas disebut bentuk kemiringan – titik potong dari persamaan garis lurus. Jelasnya garis dengan persamaan (1) merupakan garis yang mempunyai kemiringan m, dan memotong sumbu-y di b, yaitu untuk x = 0, maka y = b.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang mempunyai kemiringan 2 dan memotong sumbu-y di 5.

Jawab:

y = mx + b

y = 2x + 5

2x – y + 5 = 0

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis p yang tegak lurus dengan garis l º x + 3y = 6 dan terhadap sumbu-sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 6 satuan.

Jawab:

Karena p tegak lurus l maka menurut teorema 1.3 maka diperoleh

m_p = – 1/m_l

= –

= 3

Misalkan garis p memotong sumbu-y di titik B(0, b), maka persamaan garis p menurut rumus (1) berbentuk

y = 3x + b (2)

Misalkan memotong sumbu-x di titik A maka dari rumus (2) diperoleh

x_A = –

Diketahui bahwa luas segitiga AOB = 6, maka

½ |OA|×|OB| = 6

|b| = 6

b² = 36

b = ± 6

Jadi garis yang dicari ada dua macam yaitu

y = 3x + 6 dan y = 3x – 6

atau p₁ º 3x – y + 6 = 0 dan p₂ º 3x – y – 6 = 0

B₁

B₂

A₂

A₁

p₂º 3x – y – 6 = 0

p₁º 3x – y + 6 = 0

Gambar 3.6

3.4. Garis-garis Sejajar Sumbu Koordinat

Garis-garis vertikal tidak dapat direpresentasikan dengan bentuk titik-kemiringan, sebab tidak mempunyai kemiringan. Perlu diingat bahwa “tidak mempunyai kemiringan” bukan berarti “kemiringan nol”. Sebuah garis horisontal mempunyai kemiringan nol, dan dapat direpresentasikan dengan bentuk titik-kemiringan, yang memberikan bentuk persamaan y – y₁ = 0. Dalam hal ini persamaan tidak memuat x. Tetapi titik-titik pada garis horisontal memenuhi keadaan ini, yaitu mempunyai koordinat y yang sama, tanpa memandang berapa koordinat x. Dengan cara yang sama, titik-titik pada garis vertikal memenuhi kondisi bahwa semua titik mempunyai koordinat x yang sama. Jadi jika (x₁, y₁) adalah salah satu titik di garis vertikal, maka setiap titik (x, y) dengan x = x₁ atau x – x₁ = 0 berada pada garis vertikal tersebut.

y₁y = y₁

O x₁ X

Gambar 3.7

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis vertikal yang melalui (5, –2).

Jawab:

Karena koordinat x dari titik yang diketahui adalah 5, maka semua titik yang berada pada garis tersebut mempunyai absis 5. Jadi

x = 5 atau x – 5 = 0

3.5. Persamaan Umum Garis Lurus

Dari pembahasan pada seksi-seksi sebelumnya terlihat bahwa persamaan sembarang garis lurus adalah berderajad satu dalam koordinat tegak lurus x dan y. Sebaliknya akan ditunjukkan bahwa sembarang persamaan berderajad satu dalam x dan y menyatakan sebuah garis lurus. (Hal ini merupakan jawaban mengapa sebuah persamaan derajad satu disebut persamaan linier).

Persamaan umum derajad satu dalam x dan y adalah

Ax + By + C = 0 (1)

di mana A dan B tidak keduanya nol.

Jika B ¹ 0, bagilah kedua ruas persamaan (1) dengan B dan setelah disusun ulang akaan diperoleh,

y = –

x –

(2)

Ini adalah sebuah garis dengan kemiringan –

dan memotong sumbu-y di –

, meskipun A atau C atau keduanya bernilai nol.

Jika B = 0, maka A ¹ 0 dan selanjutnya akan diperoleh persamaan

x = –

, (3)

yang mana ini merupakan persamaan garis lurus yang sejajar dengan sumbu-y jika C ¹ 0, dan berimpit dengan sumbu-y jika C = 0.

Dengan demikian dalam semua kasus, persamaan (1) merepresentasikan sebuah garis lurus.

Seperti telah diperlihatkan bahwa kemiringan garis (1) adalah –

dan memotong sumbu-y di –

(dengan asumsi pada masing-masing kasus B ¹ 0). Untuk menentukan perpotongan dengan sumbu-x diambil y = 0 akan menghasilkan x = –

. (dengan asumsi A ¹ 0).

Pada penggambaran sketsa grafik sembarang persamaan derajad satu yang berbentuk Ax + By + C = 0 dapat ditentukan dengan cukup mengambil plot dua koordinat titik berbeda sembarang yang termuat dalam garis itu, kemudian lukis garis yang melalui kedua titik.

Salah satu cara termudah dan tercepat dalam membuat sketsa garis adalah mengambil titik-titik potong dengan sumbu koordinat sebagai dua titik sembarang itu kemudian menghubungkan kedua titik itu sebagai garis lurus. Satu masalah yang mungkin timbul adalah apabila garis melalui titik pusat koordinat, atau kedua titik potong sangatlah dekat, atau mungkin sulit menggambarkan secara tepat dikarenakan perpotongan di kedua sumbu berupa nilai pecahan. Tetapi hal ini bisa diatasi dengan mengambil sembarang titik lain yang termuat dalam garis, kemudian digambar sebagaimana cara sebelumnya.

Contoh 1:

Buat sketsa grafik dari garis 2x – 3y – 6 = 0

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-x dapat dicari dengan memberi nilai y = 0, sehingga diperoleh x = 3. Jadi (3, 0) adalah titik potong dengan sumbu-x.

Titik potong dengan sumbu-y dapat dicari dengan memberi nilai x = 0, sehingga diperoleh y = –2. Jadi (0, –2) adalah titik potong dengan sumbu-y. Dari titik (3, 0) dan (0, -2) dapat dilukis sketsa grafik persamaan tersebut seperti pada gambar 2.2.

Gambar 3.8

Latihan 3.A

Pada soal 1 – 8, tentukan persamaan garis yang mempunyai kemiringan dan melalui titik yang diberikan dan buatlah sketsa grafiknya.

1. (2, –4); m = –2 2. (–2, 1); m = 3

3. (5, 1); m = –4 4. (2, 3); m = –2

5. (0, 0); m = 1 6. (0, –2); m = –4

7. (–3, 1); m = 0 8. (–4, –5); tidak mempunyai kemiringan

Pada soal 9 – 16, tentukan persamaan garis yang melalui dua titik yang diberikan dan buatlah sketsa grafiknya.

9. (1, 4) dan (3, 5) 10. (–2, 1) dan (6, –1)

11. (–2, 4) dan (3, 5) 12. (–2, 1) dan (–1, –1)

13. (0, 0) dan (1, 5) 14. (–2, 1) dan (8, 0)

15. (4, 5) dan (4, 8) 16. (–2, 1) dan (–1, 4)

17. Tentukan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat dan kemiringan masing-masing garis berikut. Gambar garisnya pada bidang koordinat.

a. 3x – 2y – 12 = 0, b. 2x + 7y – 21 = 0,

c. x – 5y + 20 = 0, d. y = 3x + 5,

e. –4x + 3y + 18 = 0, f. x = 3y – 4,

g. 3x + 5 = 0, h. 2x + 5y = 0,

i. 2y – 12 = 0, j. 2x + 8y + 3 = 0.

18. Tentukan persamaan bisektor tegak lurus (garis bagi) dari segmen garis yang dihubungkan oleh titik-titik:

a. (4, 2), (8, 6), b. (2, 1), (8, –3),

c. (8, 1), (–3, –6), d. (–2, –7), (8, –4),

e. (4, –6), (–10, 0), f. (0, –15), (7, –4),

g. (8, 3), (–4, 3), h. (a, 0), (0, b),

i. (7, 0), (0, –4), j. (0, 0), (a, b).

19. Tunjukkan bahwa persamaan garis yang memotong sumbu-x di a dan sumbu-y di b dengan a, b ¹ 0 adalah

= 1

Persamaan ini disebut bentuk perpotongan dari persamaan garis.

20. Tentukan persamaan garis yang memotong sumbu-x di 5 dan sumbu-y di –2.

21. Tentukan persamaan sisi-sisi segitiga dengan titik-titik sudutnya (1, 4), (3, 0), dan (–1, –2).

22. Tentukan persamaan garis-garis tengah dari segitiga soal no 20.

23. Tentukan persamaan garis-garis tinggi dari segitiga soal no 20.

24. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 3x – 2y + 1 = 0 dan melalui titik (5, 1).

25. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 2x + y – 3 = 0 dan memotong sumbu-y di 5.

26. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan x + 2y – 5 = 0 dan memuat titik (4, 1).

27. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan 3x + y – 5 = 0 dan memotong sumbu-x di 4.

28. Tentukan persamaan garis yang mempunyai kemiringan m dan memotong sumbu-x di a.

29. Tentukan persamaan garis yang di kuadran satu dengan sumbu-sumbu koordinat membentuk segitiga sama kaki dengan luas 8 satuan.

30. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –4) dan membentuk segitiga sama kaki dengan sumbu koordinat di kuadran empat.

31. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, –2) dan membentuk segitiga sama kaki dengan sumbu koordinat di kuadran satu.

32. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan membentuk segitiga dengan sumbu koordinat di kuadran pertama dengan luas 30 satuan.

33. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membentuk segitiga dengan sumbu koordinat di kuadran kedua dengan luas 12 satuan.

34. Tunjukkan bahwa persamaan garis yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) dapat dinyatakan dalam bentuk

= 0

35. Buktikan bahwa garis-garis A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan A₂x + B₂y + C₂ = 0 adalah saling tegak lurus jika dan hanya jika A₁A₂ + B₁B₂ = 0

36. Tentukan tangen sudut dari garis pertama ke garis kedua pada persamaan berikut

a. x – 3y + 7 = 0, 3x – 4y + 6 = 0

b. 2x + 5 + 1 = 0, x + y + 4 = 0

c. 2x + 3y – 11 = 0, 5x – 6y + 40 = 0

d. 2x – 7y – 5 = 0, 4x – 3y – 7 = 0

e. 2y + 3 = 0, 2x + 3y = 0

f. 5x + 7y – 6 = 0, 3y – 4 = 0

g. 7x + 24 = 0, 7x – 2y – 8 = 0

h. 6x + 2y – 13 = 0, 3x – 5 = 0

37. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membuat sudut 45° dengan garis l º 3x – 4y – 24 = 0.

38. Tentukan tangen sudut dalam segitiga yang sisi-sisinya dibentuk oleh garis-garis x + 2y – 10 = 0, x – 10y + 14 = 0, dan x – y + 5 = 0.

39. Tentukan besar sudut dalam segitiga yang sisi-sisinya dibentuk oleh garis-garis 3x + y – 26 = 0, 3x – 5y + 4 = 0, dan 3x – 13y – 22 = 0.

40. Tentukan luas segitiga pada soal nomor 36 dan 37.

41. Tentukan titik pada garis 4x + 3y – 4 = 0 yang berjarak sama dari titik (–3, –1) dan (7, 3).

3.6. Persamaan Garis Bentuk Normal

Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang p yang tegak lurus atau normal dari titik asal ke garis tersebut, dan sudut a yaitu sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis normalnya yang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. (lihat gambar 3.9)

Gambar 3.9

Untuk menurunkan persamaan garis dalam bentuk p dan a diambil sembarang titik P(x, y) pada garis. Ditarik garis dari P yang tegak lurus dengan sumbu-x, hingga memotong sumbu x di M. Dari M digambar garis yang tegak lurus dengan garis normal ON dan berpotongan dititik R.

Proyeksi tegak lurus dari OM pada ON adalah:

OR = OM cos a = x cos a. (1)

Secara sama proyeksi tegak lurus dari MP pada ON adalah:

RQ = MP cos (90° – a) = y sin a. (2)

Tetapi OR + RQ = OQ = p, (3)

dan dengan menggunakan hubungan (1), (2), dan (3) dapat dituliskan sebagai:

x cos a + y sin a – p = 0 (4)

Persamaan (4) disebut bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjang normalnya p dan besar sudut normalnya a.

Perlu diingat bahwa p adalah besaran positif (kecuali pada kasus garis melalui titik asal, yang mana dalam kasus ini nilai p adalah nol).

3.7. Reduksi Persamaan ke Bentuk Normal

Untuk menunjukkan bagaimana mereduksi persamaan umum garis lurus

Ax + By + C = 0 (2)

ke bentuk normal, kita kalikan masing-masing ruas dengan konstanta k sehingga diperoleh :

kAx + kBy + kC = 0. (2)

Jika persamaan (2) dalam bentuk normal, maka jika dibandingkan dengan persamaan (4) seksi 3.6, maka harus dipunyai

kA = cos a; kB = sin a; kC = – p. (3)

Jika dua persamaan pertama masing-masing dikuadratkan, kemudian dijumlahkan akan diperoleh:

k²A² + k²B² = cos²a + sin²a = 1 (4)

sehingga diperoleh

k² =

, k =

. (5)

Jika hasil ini disubstitusikan ke persamaan (3) akan didapatkan:

cos a =

, sin a =

, p =

(6)

Sehingga persamaan (1) dapat dituliskan sebagai:

(7)

Tanda ± yang berada di depan tanda akar dipilih sedemikian hingga p bernilai positif, dan tanda pada konstanta (yaitu –p) dalam bentuk normal adalah negatif. Hal ini berarti tanda harus dipilih yang berlawanan dengan bentuk konstanta pada persamaan asal yaitu C.

Jika dalam persamaan (1), C = 0 tetapi B ¹ 0, maka tanda diambil sedemikian hingga koefisien y dalam bentuk normal harus positif, yaitu diambil tanda yang sama dengan tanda pada koefisien persamaan asal.

Jika dalam persamaan (1), B = C = 0 tetapi A ¹ 0, maka tanda dipilih sedemikian hingga koefisien x adalah positif. Dalam kasus ini garis adalah sumbu-y.

Contoh 1:

Reduksi persamaan 3x – 4y – 15 = 0 ke dalam persamaan normal dan buat sketsa grafiknya.

Jawab:

Menurut (5) nilai k adalah

k =

Karena C = –15 yang berarti bertanda negatif, maka k bertanda positif yaitu k =

. Kemudian kalikan ke persamaan asal diperoleh bentuk normal:

= 0, atau

x –

y – 3 = 0,

yang menunjukkan bahwa

cos a =

, sin a = –

, p = 3

Untuk membuat sketsa grafiknya, pertama tentukan normal garis dengan sudut normal

a = arc tan

Dengan demikian a adalah sudut yang berada di kuadran empat dan dengan menggunakan tabel trigonometri maka besar sudut a dapat ditemukan yaitu

a = 360° – 53,13° = 306,17°.

Sudut a dapat dikonstruksikan dengan memplot titik N(3, –4) pada bidang koordinat, kemudian buatlah garis berarah ON sebagai normal garis, maka ukuran sudut XON sama dengan a. Lukisan garis yang dicari adalah garis yang tegak lurus dengan ON pada titik Q sedemikian hingga OQ = p = 3.

Contoh 2:

Reduksi persamaan 3x – 4y = 0 ke dalam persamaan normal dan buat sketsa grafiknya.

Jawab:

Menurut (5) nilai k adalah

k =

Karena C = 0 dan kofisien y adalah negatif, maka k dipilih yang bertanda negatif yaitu k = –

. Kemudian kalikan ke persamaan asal diperoleh bentuk normal:

= 0, atau –

x +

y = 0,

yang menunjukkan bahwa

cos a = –

, sin a =

, p = 0

a = arc tan

Kemudian a dapat dicari dengan hubungan

a = arc tan

yang berarti a adalah sudut yang berada di kuadran dua dan dengan menggunakan tabel trigonometri diperoleh besar sudut a = 126,87°.

Latihan 3 B

1. Tentukan persamaan bentuk normal dari garis dengan a dan p yang diberikan berikut ini, dan konstruksikan grafiknya.

(a) a = 45°, p = 4, (h) a = 60°, p = 5

(b) a = 90°, p = 3, (i) a = 150°, p = 10

(d) a = 270°, p = 2, (k) a = 300°, p = 3

(e) a = 0°, p =

(f) a = arc cos –

di kuadran II, p = 6

(g) a = arc cos –

di kuadran IV, p = 8

Reduksi masing-masing persamaan berikut ke dalam bentuk normal, dan konstruksikan grafiknya.

2. 5x + 12y – 26 = 0.

3. 3x – 4y + 30 = 0.

4. 6x – 8y – 15 = 0.

5. 2x + 3y + 12 = 0.

6. 8x – 15y + 34 = 0.

7. y = 2x + 3.

8. 5x + 12y = 0.

9. 5x – 12y = 0.

10. 2y = 3.

11. 2x = –5.

12. y = x.

13. y = –2x.

14. Tentukan semua nilai k sedemikian hingga garis 15x + ky – 51 = 0 sejauh 3 satuan dari titik asal.

15. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–3, –2) dan berjarak 2 satuan dari titik asal. (ada dua jawaban)

16. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–1, 7) dan menyinggung lingkaran yang berpusat di titik asal dan dengan jari-jari 5. (ada dua jawab)

3.8. Jarak Titik ke Garis

Sebelum membahas jarak titik ke garis, kita ingat kembali beberapa kenyataan yang telah dibahas pada seksi sebelumnya.

Garis Ax + By + C₁ = 0 dan Ax + By + C₂ = 0 haruslah dua garis yang sejajar karena memberikan bentuk

y = –

x –

dan y = –

x –

(1)

untuk B ¹ 0 dan mereka merepresentasikan dua garis vertikal jika B = 0. Perhatikan bahwa kedua garis mempunyai kemiringan yang sama.

Selain itu jika diberikan garis Ax + By + C = 0 dan titik (x₁, y₁), maka garis yang melalui (x₁, y₁) dan sejajar garis yang diberikan mempunyai persamaan

Ax + By – (Ax₁ + By₁) = 0 (2)

Juga garis Ax + By + C₁ = 0 dan Bx – Ay + C₂ = 0 adalah saling tegak lurus, karena mereka memberikan bentuk

y = –

x –

dan y =

x –

(3)

jika A dan B ¹ 0; dan memberikan garis horisontal dan garis vertikal jika A = 0 atau B = 0. Perhatikan bahwa kemiringan kedua garis jika dikalikan hasilnya adalah –1. Lebih lanjut,

Bx – Ay + (Bx₁ – Ay₁) = 0 (4)

adalah garis yang memuat (x₁, y₁) dan tegak lurus Ax + By + C= 0.

Sekarang misalkan diberikan garis l₁ º Ax + By + C = 0 dan titik P(x₁, y₁), maka

jarak titik P ke garis l ditulis d(P, l) adalah panjang dari titik P ke titik proyeksi tegak lurus titik tersebut di garis l.

Menurut (4) maka l₂ º Bx – Ay – (Bx₁ – Ay₁) = 0 adalah garis yang tegak lurus dengan garis l₁ dan melalui P(x₁, y₁) (lihat gambar 3.10). Misalkan kedua garis l₁ dan l₂ berpotongan di titik Q maka koordinat titik Q adalah

(5)

PQ adalah jarak titik P ke garis l. Dengan menggunakan rumus jarak, maka panjang d(P, l) = PQ adalah

d(P, l) =

\ d(P, l) =

(6)

Tanda ± didepan tanda akar di penyebut dipilih sedemikian hingga jarak yang dicari d(P, l) bernilai positif.

P(x₁, y₁)

d Bx – Ay – (Bx₁ – Ay₁) = 0

l º Ax + By + C = 0

Gambar 3.10

Contoh 1:

Tentukan jarak titik (1, 4) ke garis 3x – 5y + 2 = 0.

Jawab:

d =

= =

Contoh 2:

Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya A(1, –1), B(4, 6), dan C(–1, 7).

Jawab:

Gambar 3.11

Kita cari persamaan masing-masing garis sisi segitiga ABC.

Persamaan garis AB adalah

7x – 3y – 10 = 0

Kemudian kita hitung jarak titik C(–1, 7) terhadap garis 7x – 3y – 10 = 0

Maka diperoleh

d(C, AB) =

Dengan cara yang sama jarak titik A terhadap garis BC dan jarak titik B terhadap garis AC dapat dicari sebagai latihan.

Latihan 3 C

1. Tentukan jarak garis 5x + 12y – 30 = 0 terhadap titik : (a) (9, 2), (b) (2, –7), (c) (–4, 2), (d) (–6, 5).

2. Tentukan jarak garis 8x – 15y + 79 = 0 terhadap titik : (a) (–7, –3), (b) (4, –4), (c) (–1, 7), (d) (5, 0).

3. Tentukan jarak garis y = 2x – 6 terhadap titik : (a) (4, 5), (b) (3, –5), (c) (–3, 8), (d) (–10, 2).

4. Tentukan jarak garis 4x + 3y = 0 terhadap titik : (a) (2, –6), (b) (3, –6), (c) (4, 2), (d) (–8, 3).

5. Tentukan jarak garis y = 3x terhadap titik : (a) (–2, 4), (b) (0, 4Ö5), (c) (–8, 6), (d) (Ö10, 0).

6. Tentukan jarak garis y = 3 terhadap titik : (a) (6, –8), (b) (3, –8), (c) (–2, –1).

7. Tentukan jarak garis x + 3 = 0 terhadap titik : (a) (7, –3), (b) (–1, 4), (c) (–2, –4).

8. Tentukan jarak titik (5, 7) terhadap garis yang melalui titik (8, 3) dan (–4, –6).

9. Tentukan jarak titik (10, –3) terhadap garis yang melalui titik (18, 6) dan (–6, –1).

10. Tentukan titik-titik yang berabsis –3 dan berjarak 6 satuan dari garis 5x – 12y = 3.

11. Tentukan jarak antara garis 2x – 5y + 5 = 0 dan 2x – 5y + 8 = 0.

12. Tentukan nilai a sehingga garis (x/a) + (y/2) = 1 berjarak 2 satuan dari titik (4, 0).

13. Tentukan c sedemikian hingga jarak dari garis 4x – 3y – 24 = 0 terhadap titik (c, 2) sama dengan 6.

14. Sebuah garis berpotongan dengan sumbu-y di 2. Tentukan kemiringan garis itu jika jaraknya terhadap titik (3, –4) adalah 6.

15. Tentukan panjang semua garis tinggi dari segitiga yang mempunyai titik-titik sudut (–4, 3), (8, –6), (6, 8).

16. Persamaan sisi segitiga diberikan oleh

3x – 4y – 15 = 0, x + 2y – 5 = 0, 2x – y = 0.

Tentukan panjang semua garis tingginya.

17. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap garis 3x + 4y = 0 dan terhadap titik (2, 3).

18. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap garis x – 2y – 2 = 0 adalah dua kali jaraknya terhadap titik asal.

3.9. Garis Bagi Sudut

Dengan pengertian rumus atau aturan untuk jarak dari suatu garis ke suatu titik, dapat ditemukan persamaan garis bagi sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan. Dalam hal ini garis bagi sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap kedua garis yang mengapit sudut.

Misalkan dua garis l₁ º A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan l₂ º A₂x + B₂y + C₂ = 0 adalah dua garis sembarang yang membentuk sudut a. Misalkan P(x_P, y_P) adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari l₁ dan l₂.

Maka

d(P, l₁) =

dan d(P, l₂) =

(1)

Jadi tempat kedudukan titik P sedemikian hingga d(P, l₁) = d(P, l₂) adalah

(2)

Jika koordinat titik P dijalankan maka diperoleh persamaan garis bagi sudut yg dicari adalah :

= ±

(3)

Gambar 3.12: Garis Bagi Sudut

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis bagi sudut yang dibentuk oleh garis

l₁ º 5x + 12y – 52 = 0 dengan l₂ º 4x – 3y + 34 = 0

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan (3) maka persamaan garis bagi yang dicari adalah:

= ±

Garis bagi sudut yang pertama adalah

Û 3x – 11y + 78 = 0

Sedangkan garis bagi sudut yang kedua adalah

= –

Û 11x + 3y + 26 = 0

Jadi persamaan garis bagi yang dicari adalah

3x – 11y + 78 = 0 dan 11x + 3y + 26 = 0

Latihan 3 D

Pada soal 1 – 12, tentukan persamaan garis-garis bagi sudut antara dua garis yang persamaannya diberikan di bawah ini:

1. x – y – 5 = 0, x – 7y – 47 = 0

2. x – 8y + 13 = 0, 4x – 7y + 2 = 0

3. x – 3y + 9 = 0, 3x – y – 9 = 0

4. x + 3y + 9 = 0, 13x – 9y – 27 = 0

5. 19x – 17y – 2 = 0, 11x – 23y + 12 = 0

6. x – y + 20 = 0, 17x – 7y + 20 = 0

7. 2x + 5y – 30 = 0, 5x – 2y = 0

8. 5x – 12y – 2 = 0, 2y – 3 = 0

9. 3x + 4y + 10 = 0, 3x + 4 = 0

10. 2x + 3y – 7 = 0, 3x – 4y = 0

11. 5x + 2 = 0, 2y – 3 = 0

12. 8x + 6y – 5 = 0, 5x – 12y – 11 = 0

13. Tunjukkan bahwa garis-garis bagi sudut antara dua garis adalah saling tegak lurus.

14. Tentukan persamaan garis bagi sudut segitiga yang sisi-sisinya diberikan oleh persamaan:

13x – 9y – 75 = 0, 3x – y + 15 = 0, x – 3y + 45 = 0

15. Tentukan persamaan garis bagi sudut segitiga dengan koordinat titik-titik sudut adalah A(40, 20), B(–12, –16), dan C(–5, 5).

3.10. Keluarga Garis

Persamaan y = 2x + b menyatakan semua garis yang mempunyai kemiringan 2. Untuk setiap perubahan nilai b (yang mana merupakan perpotongan dengan sumbu-y) hanyalah mempunyai pengaruh pada pergerakan garis ke atas atau ke bawah tanpa perubahan kemiringan. Kuantitas b disebut parameter.

Sebuah parameter adalah suatu konstanta yang dapat disesuaikan fungsinya. Ia mempunyai beberapa karakteristik variabel dan beberapa karakteristik konstanta. Parameter menjadi variabel jika dalam hal kita memberikan sembarang perubahan nilai, tetapi setelah pemberian nilainya ia dipandang sebagai tetapan atau konstan, sementara itu kita memposisikan x dan y bervariasi, jadi diperoleh sebuah garis tunggal untuk setiap nilai tetap b.

Gambar 3.13 : Keluarga garis y = 2x + b.

Dengan pemberian b semua nilai yang mungkin diperoleh himpunan semua garis sejajar yang mempunyai kemiringan 2. Himpunan seperti itu disebut juga sebuah sistem atau keluarga garis. Perhatikan gambar 3.13 menunjukkan keluarga garis yang mempunyai kemiringan 2.

Secara sama, persamaan y – 3 = m(x – 2) menyatakan himpunan semua garis yang melalui titik (2, 3) (dengan perkecualian garis vertikal x = 2). Dalam hal ini parameter m menunjukkan kemiringan garis. Keluarga garis yang melalui titik (2, 3) dapat digambarkan seperti pada gambar 3.14 di bawah ini.

Gambar 3.14 : Keluarga garis y – 3 = m(x – 2).

Persamaan 3x – 2y = k menyatakan himpunan semua garis sejajar dengan garis yang mempunyai kemiringan 3/2, meskipun parameter k tidak mempunyai arti

geometrik secara khusus. Hal ini memberikan salah satu metoda yang sedikit berbeda dalam menyelesaikan masalah pada topik pembahasan persamaan umum garis lurus.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, –1) dan sejajar dengan garis 2x – 3y + 6 = 0.

Jawab:

Garis yang akan dicari merupakan anggota keluarga garis yang berbentuk 2x – 3y = k. Karena melalui titik (4, –1), maka jika titik ini disubstitusikan untuk nilai x dan y ke persamaan akan diperoleh :

2×4 – 3(–1) = k, atau k = 11.

Oleh karena itu persamaan garis yang dicari adalah 2x – 3y = 11.

3.11. Garis yang Melalui Perpotongan Dua Garis

Untuk menentukan perpotongan antara dua garis, berarti kita mencari dua bilangan yang tidak diketahui, yang memenuhi dua persamaan garis tersebut. Jika (2, 1) adalah perpotongan antara garis 3x + 2y – 8 = 0 dan garis 2x – y – 3 = 0, maka x = 2 dan y = 1 merupakan penyelesaian dari kedua persamaan tersebut atau titik (2, 1) terletak pada garis 3x + 2y – 8 = 0 dan juga pada garis 2x – y – 3 = 0.

3x + 2y – 8 = 0 2x – y – 3 = 0

Gambar 3.15: Dua Garis yang berpotongan

Jika k adalah konstanta tertentu, maka garis dengan persamaan

(3x + 2y – 8) + k(2x – y – 3) = 0

juga memuat titik (2, 1) yaitu titik potong antara garis 3x + 2y – 8 = 0 dan garis 2x – y – 3 = 0. Untuk harga k yang berbeda, maka akan terdapat garis lain yang juga melalui (2, 1). Sebagai contoh jika kita tentukan k = –4 maka akan didapatkan garis dengan persamaan

(3x + 2y – 8) + (-4)(2x – y – 3) = 0

Û –5x + 6y – 4 = 0,

Û 5x – 6y + 4 = 0.

dan garis ini juga melalui titik (2, 1). Jadi persamaan setiap garis yang melalui titik (2, 1) dapat ditulis dalam bentuk (3x + 2y – 8) + k(2x – y – 3) = 0, dengan menentukan nilai tertentu k.

Secara umum jika U(x, y) = 0 dan V(x, y) = 0 adalah dua buah persamaan kurva (lurus maupun lengkung) maka

U(x, y) + kV(x, y) = 0 (1)

merupakan persamaan kurva yang melalui titik-titik potong kurva U(x, y) = 0 dan V(x, y) = 0. Jika U(x, y) = 0 dan V(x, y) = 0 tidak berpotongan maka U(x, y) + kV(x, y) = 0 juga tidak memotong kedua kurva tersebut.

Persamaan U(x, y) + kV(x, y) = 0 disebut berkas kurva (lihat gambar 3.16). Jika U(x, y) = 0 dan V(x, y) = 0 merupakan persamaan garis lurus (linear) yang berpotongan maka U(x, y) + kV(x, y) = 0 disebut berkas garis. Jadi berkas garis adalah keluarga garis yang berpotongan di satu titik seperti pada gambar 3.14. Dan jika U(x, y) = 0 dan V(x, y) = 0 tidak berpotongan, maka U(x, y) + kV(x, y) = 0 disebut berkas pensil (a pencil of lines) yaitu keluarga garis yang sejajar (lihat gambar 3.13).

Gambar 3.16: Berkas Kurva

Misalkan l₁ dan l₂ adalah dua buah garis yang berpotongan, maka dengan memberikan semua nilai k yang mungkin dalam persamaan l₁ + kl₂ = 0 diperoleh semua garis yang mungkin melalui perpotongan daris l₁ dan l₂ kecuali garis l₂ sendiri.

Hal ini memberikan suatu motoda atau cara menemukan persamaan garis yang melalui perpotongan dua titik yang diberikan dan memenuhi satu syarat lain tanpa mencari terlebih dahulu titik perpotongan kedua garis yang diketahui.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis l₁ º 3x + 2y – 8 = 0 dan garis l₂ º 2x – y – 3 = 0 dan melalui (4, 2).

Jawab:

Metoda I:

Biasanya untuk memperoleh persamaan yang diinginkan, pertama dicari titik potong antara dua garis tersebut baik dengan cara eleminasi maupun substitusi variabel, kemudian dicari persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut. Cara ini mungkin menghabiskan waktu pada proses eleminasi atau substitusi. Silakhan dicoba untuk membandingkan dengan cara kedua.

Metoda II:

Persamaan garis yang melalui titik potong 3x + 2y – 8 = 0 dan 2x – y – 3 = 0 adalah

l₁ + kl₂ º (3x + 2y – 8) + k(2x – y – 3) = 0.

Karena garis yang ditanyakan juga melalui (4, 2) maka berlaku:

(3×4 + 2×2 – 8) + k(2×4 – 2 – 3) = 0

Û 8 + 3k = 0, atau k = –

Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai k = –

, maka akan diperoleh persamaan garis yang dicari yaitu :

l₁ + kl₂ º (3x + 2y – 8) + –

(2x – y – 3) = 0.

Û 3(3x + 2y – 8) – 8(2x – y – 3) = 0

Û –7x + 14y = 0

Û x – 2y = 0

Jadi persamaan garis yang melalui titik potong garis 3x + 2y – 8 = 0 dan 2x – y – 3 = 0 dan melalui titik (4, 2) adalah x – 2y = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis l₁ º 3x – 8y – 12 = 0 dan garis l₂ º 2x + 3y – 7 = 0 dan melalui P₁(2, 1).

Jawab:

Persamaan garis yang melalui titik potong 3x – 8y + 12 = 0 dan 2x + 3y – 7 = 0 adalah

l₁ + kl₂ º (3x – 8y + 12) + k(2x + 3y – 7) = 0.

Karena garis yang ditanyakan juga melalui P₁(2, 1) maka harus dipenuhi:

(3×2 – 8×1 + 12) + k(2×2 + 3×1 – 7) = 0

Û 10 + k×0 = 0

Dalam hal ini tidak ada nilai k yang menyatakan persamaan garis yang dicari. Dengan kata lain garis yang dicari adalah garis tunggal yang melalui titik potong l₁ dan l₂ yang tidak diberikan oleh l₁ + kl₂ = 0, yaitu garis l₂ sendiri. Hal itu berarti titik P₁ adalah berada pada garis l₂, di mana mudah untuk menunjukkannya.

Contoh 3:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x – y – 1 = 0 dan garis 3x + 4y = 2 serta tegak lurus dengan garis 4x + 5y = 3.

Jawab:

Berkas garis 2x – y = 1 dan 3x + 4y = 2 adalah

(2x – y – 1) + k(3x + 4y – 2) = 0

Û (2 + 3k)x – (1 – 4k)y – (1 + 2k) = 0

Persamaan garis ini mempunyai kemiringan

. Sedangkan kemiringan garis 3x + 4y = 3 adalah –

, maka menurut teorema 1.3 berlaku

–

= –1

Û 4(2 + 3k) = 5(1 – 4k)

Û 3 + 32k = 0

Û k = –

Persamaan garis yang dicari adalah:

(2 + 3×(–

))x – (1 – 4×(–

))y – (1 + 2×(–

)) = 0

Û (2×32 + 3×(-3))x – (32 – 4× (-3))y – (32 + 2×(-3)) = 0

Û 55x – 44y – 26 = 0

Jadi persamaan garis yang diinginkan adalah 55x – 44y – 26 = 0.

Contoh 4:

Buktikan bahwa ketiga garis berat setiap segitiga berpotongan di satu titik.

Jawab:

Untuk membuktikan soal ini, kita tempatkan titik-titik ujung segitiga pada titik-titik A(a, 0), B(b, 0), dan C(0, c). Sedangkan P, Q, dan R masing-masing titik tengah dari garis BC, AC, dan AB. Dengan menggunakan rumus titik tengah diperoleh koordinat masing-masing titik tengah yaitu P(½b, ½c), Q(½a, ½c), R(½(a + b), 0) (lihat gambar 3.17 berikut).

Gambar 3.17:

Persamaan garis yang melalui titik C dan R adalah:

Û 2cx + (a + b)y – (a + b)c = 0 (1)

Persamaan garis yang melalui titik A dan P adalah:

Û cx + (2a – b)y – ac = 0 (2)

Persamaan garis yang melalui titik B dan Q adalah:

Û cx + (2b – a)y – bc = 0 (3)

Jika kita dapat menunjukkan bahwa masing-masing garis (1), (2) dan (3) adalah anggota suatu berkas garis, dengan kata lain bahwa satu garis merupakan hasil kombinasi linear dari dua garis lainnya maka kita telah membuktikan bahwa ketiga garis adalah berpotongan di satu titik.

Berkas garis (2) dan (3) adalah

(cx + (2a – b)y – ac) + k(cx + (2b – a)y – bc) = 0

Jika diambil k = 1 maka akan diperoleh anggota berkas garis

cx + (2a – b)y – ac + cx + (2b – a)y – bc = 0

Û 2cx + (a + b)y – (a + b)c = 0.

Persamaan terakhir tidak lain adalah persamaan (1). Hal ini membuktikan bahwa ketiga garis tersebut berpotongan di satu titik.

Latihan 3 F

1. Tentukan persamaan keluarga garis yang bersifat :

(a) mempunyai kemiringan –

(b) memotong dengan sumbu-y di 4,

(d) melalui titik (–2, 7),

(e) sejajar dengan garis 2x + 3y – 9 = 0,

(f) tegak lurus dengan garis 5x + 4y – 20 = 0.

2. Tentukan keluarga garis yang jaraknya terhadap titik asal adalah 2.

3. (a) Tentukan keluarga garis yang perpotongannya dengan sumbu-y adalah dua kali perpotongannya dengan sumbu-x.

(b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) yang melalui titik (7, –10).

4. (a) Tentukan keluarga garis yang perpotongannya dengan sumbu-y dan perpotongannya dengan sumbu-x berjumlah 5.

(b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) yang mempunyai kemiringan –

5. (a) Tentukan keluarga garis yang perpotongannya dengan sumbu-y dikurangi perpotongannya dengan sumbu-x adalah 5.

(b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) yang melalui (2, 4).

6. Tentukan persamaan keluarga garis yang perkalian perpotongan dengan sumbu-x dan sumbu-y adalah 5.

7. Tentukan persamaan keluarga garis yang perpotongan dengan sumbu-x dibagi perpotongan dengan sumbu-y adalah 5.

8. Tentukan persamaan keluarga garis yang membentuk sudut 45° dengan garis 2x – 3y – 10 = 0.

9. Tentukan persamaan keluarga garis yang jaraknya terhadap titik (6, 2) adalah 5.

10. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan garis 2x + 3y – 7 = 0 dan 5x – 2y – 8 = 0 dan

(a) melalui titik asal,

(b) mempunyai kemiringan –

(d) tegak lurus dengan garis 4x + 3y – 12 = 0.

11. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan garis 2x – 3y – 26 = 0 dan 6x + 16y + 97 = 0 dan

(a) tegak lurus dengan garis yang pertama,

(b) tegak lurus dengan garis kedua,

(d) tegak lurus dengan sumbu-x.

12. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan garis 5x – 3y – 10 = 0 dan x – y + 1 = 0 dan

(a) melalui titik (7, 6),

(b) membagi dua sama panjang segmen yang menghubungkan titik (1, 6) dengan (–3, 2),

13. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan garis 2x – 3y – 3 = 0 dan x – 2y – 1 = 0 dan

(a) berjarak 1 dari titik asal,

(b) memotong sumbu-y di –2,

14. Tunjukkan bahwa ketiga garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

15. Tunjukkan bahwa titik berat suatu segitiga membagi garis berat dengan perbandingan 1 : 2.

16. AB dan CD adalah sisi-sisi yang sejajar dari sebuah trapesium ABCD, sedangkan P dan Q masing-masing merupakan titik tengah sisi-sisi AB dan CD.

(a) Buktikan bahwa sisi AD dan BD serta garis PQ berpotongan di satu titik.

(b) Buktikan bahwa diagonal AC dan BD serta garis PQ berpotongan di satu titik.